Υπολογιστής εφαπτομενικής συνιστώσας της επιτάχυνσης
Βρείτε την εφαπτομενική συνιστώσα της επιτάχυνσης βήμα προς βήμα
Ο υπολογιστής θα βρει την εφαπτομενική συνιστώσα της επιτάχυνσης για το αντικείμενο που περιγράφεται από τη διανυσματική συνάρτηση στο δοσμένο σημείο, με εμφάνιση των βημάτων.
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής καμπυλότητας, Αριθμομηχανή κανονικής συνιστώσας της επιτάχυνσης
Η είσοδός σας
Βρείτε την εφαπτομενική συνιστώσα της επιτάχυνσης για $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle$$$.
Λύση
Βρείτε την παράγωγο του $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 2 t, 3 t^{2}\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε τον υπολογιστή παραγώγων).
Βρείτε το μέτρο του $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μέτρου).
Βρείτε την παράγωγο του $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 2, 6 t\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε τον υπολογιστή παραγώγων).
Βρείτε το εσωτερικό γινόμενο: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = 18 t^{3} + 4 t$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής εσωτερικού γινομένου).
Τέλος, η εφαπτομενική συνιστώσα της επιτάχυνσης είναι $$$a_T\left(t\right) = \frac{\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}} = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}.$$$
Απάντηση
Η εφαπτομενική συνιστώσα της επιτάχυνσης είναι $$$a_T\left(t\right) = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}$$$A.