|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Καμπυλότητα της $$$\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής Μοναδιαίου Δικανονικού Διανύσματος, Υπολογιστής στρέψης
Η είσοδός σας
Βρείτε την καμπυλότητα του $$$\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle$$$.
Λύση
Βρείτε την παράγωγο του $$$\mathbf{\vec{r}\left(x\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)} = \left\langle 1, 2 x, 0\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε τον υπολογιστή παραγώγων).
Βρείτε το μέτρο του $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\right\rvert} = \sqrt{4 x^{2} + 1}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μέτρου).
Βρείτε την παράγωγο του $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)} = \left\langle 0, 2, 0\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε τον υπολογιστή παραγώγων).
Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)} = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής διανυσματικού γινομένου).
Βρείτε το μέτρο του $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}\right\rvert} = 2$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μέτρου).
Τέλος, η καμπυλότητα είναι $$$\kappa\left(x\right) = \frac{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}\right\rvert}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\right\rvert}^{3}} = \frac{2}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}.$$$
Απάντηση
Η καμπυλότητα είναι $$$\kappa\left(x\right) = \frac{2}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$$A.