Μετατρέψτε το $$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$ σε ορθογώνιες συντεταγμένες

Μετατρέψτε $$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$ σε ορθογώνιες συντεταγμένες.

Εφαρμόστε τον τύπο $$$\cos{\left(3 \alpha \right)} = \cos^{3}{\left(\alpha \right)} - 3 \sin^{2}{\left(\alpha \right)} \cos{\left(\alpha \right)}$$$ με $$$\alpha = \theta$$$: $$$16 r = - 3 \sin^{2}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)} + \cos^{3}{\left(\theta \right)}$$$.

Από $$$x = r \cos{\left(\theta \right)}$$$ και $$$y = r \sin{\left(\theta \right)}$$$, έχουμε ότι $$$\cos{\left(\theta \right)} = \frac{x}{r}$$$, $$$\sin{\left(\theta \right)} = \frac{y}{r}$$$, $$$\tan{\left(\theta \right)} = \frac{y}{x}$$$ και $$$\cot{\left(\theta \right)} = \frac{x}{y}$$$.

Η είσοδος μετατρέπεται σε $$$16 r = \frac{x^{3}}{r^{3}} - \frac{3 x y^{2}}{r^{3}}$$$.

Απλοποίηση: η είσοδος τώρα έχει τη μορφή $$$16 r^{4} - x^{3} + 3 x y^{2} = 0$$$.

Στις ορθοκαρτεσιανές συντεταγμένες, $$$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$$ και $$$\theta = \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{x} \right)}$$$.

Συνεπώς, η είσοδος μπορεί να γραφεί εκ νέου ως $$$- x^{3} + 3 x y^{2} + 16 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2} = 0$$$.

$$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$A στις ορθογώνιες συντεταγμένες είναι $$$- x^{3} + 3 x y^{2} + 16 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2} = 0$$$A.