Ολοκλήρωμα του $$$x - \ln^{2}\left(x\right)$$$

Βρείτε $$$\int \left(x - \ln^{2}\left(x\right)\right)\, dx$$$.

Ολοκληρώστε όρο προς όρο:

$${\color{red}{\int{\left(x - \ln{\left(x \right)}^{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{x d x} - \int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ με $$$n=1$$$:

$$- \int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x} + {\color{red}{\int{x d x}}}=- \int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- \int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

Για το ολοκλήρωμα $$$\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}$$$, χρησιμοποιήστε την ολοκλήρωση κατά μέρη $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Έστω $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}^{2}$$$ και $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Τότε $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}^{2}\right)^{\prime }dx=\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} dx$$$ (τα βήματα φαίνονται ») και $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (τα βήματα φαίνονται »).

Επομένως,

$$\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}}}=\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)}^{2} \cdot x-\int{x \cdot \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} d x}\right)}}=\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)}^{2} - \int{2 \ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=2$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$:

$$\frac{x^{2}}{2} - x \ln{\left(x \right)}^{2} + {\color{red}{\int{2 \ln{\left(x \right)} d x}}} = \frac{x^{2}}{2} - x \ln{\left(x \right)}^{2} + {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Για το ολοκλήρωμα $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$, χρησιμοποιήστε την ολοκλήρωση κατά μέρη $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Έστω $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ και $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Τότε $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (τα βήματα φαίνονται ») και $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (τα βήματα φαίνονται »).

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$$\frac{x^{2}}{2} - x \ln{\left(x \right)}^{2} + 2 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}=\frac{x^{2}}{2} - x \ln{\left(x \right)}^{2} + 2 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=\frac{x^{2}}{2} - x \ln{\left(x \right)}^{2} + 2 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της σταθεράς $$$\int c\, dx = c x$$$ με $$$c=1$$$:

$$\frac{x^{2}}{2} - x \ln{\left(x \right)}^{2} + 2 x \ln{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\int{1 d x}}} = \frac{x^{2}}{2} - x \ln{\left(x \right)}^{2} + 2 x \ln{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{x}}$$

Επομένως,

$$\int{\left(x - \ln{\left(x \right)}^{2}\right)d x} = \frac{x^{2}}{2} - x \ln{\left(x \right)}^{2} + 2 x \ln{\left(x \right)} - 2 x$$

Απλοποιήστε:

$$\int{\left(x - \ln{\left(x \right)}^{2}\right)d x} = \frac{x \left(x - 2 \ln{\left(x \right)}^{2} + 4 \ln{\left(x \right)} - 4\right)}{2}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\left(x - \ln{\left(x \right)}^{2}\right)d x} = \frac{x \left(x - 2 \ln{\left(x \right)}^{2} + 4 \ln{\left(x \right)} - 4\right)}{2}+C$$

$$$\int \left(x - \ln^{2}\left(x\right)\right)\, dx = \frac{x \left(x - 2 \ln^{2}\left(x\right) + 4 \ln\left(x\right) - 4\right)}{2} + C$$$A