Ολοκλήρωμα του $$$x + 1$$$

Βρείτε $$$\int \left(x + 1\right)\, dx$$$.

Ολοκληρώστε όρο προς όρο:

$${\color{red}{\int{\left(x + 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d x} + \int{x d x}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της σταθεράς $$$\int c\, dx = c x$$$ με $$$c=1$$$:

$$\int{x d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{x d x} + {\color{red}{x}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ με $$$n=1$$$:

$$x + {\color{red}{\int{x d x}}}=x + {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=x + {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

Επομένως,

$$\int{\left(x + 1\right)d x} = \frac{x^{2}}{2} + x$$

Απλοποιήστε:

$$\int{\left(x + 1\right)d x} = \frac{x \left(x + 2\right)}{2}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\left(x + 1\right)d x} = \frac{x \left(x + 2\right)}{2}+C$$

$$$\int \left(x + 1\right)\, dx = \frac{x \left(x + 2\right)}{2} + C$$$A