Ολοκλήρωμα του $$$\frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$$

Βρείτε $$$\int \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$$.

Ξαναγράψτε την ολοκληρωτέα συνάρτηση:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \cos^{2}{\left(x \right)} d x}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=2$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{2 \cos^{2}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\cos^{2}{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον τύπο υποβιβασμού δυνάμεων $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$ με $$$\alpha=x$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(x \right)} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d x}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=\frac{1}{2}$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)} + 1$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d x}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right)d x}}{2}\right)}}$$

Ολοκληρώστε όρο προς όρο:

$${\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d x} + \int{\cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της σταθεράς $$$\int c\, dx = c x$$$ με $$$c=1$$$:

$$\int{\cos{\left(2 x \right)} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{\cos{\left(2 x \right)} d x} + {\color{red}{x}}$$

Έστω $$$u=2 x$$$.

Τότε $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

Επομένως,

$$x + {\color{red}{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}} = x + {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=\frac{1}{2}$$$ και $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$:

$$x + {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}} = x + {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

Το ολοκλήρωμα του συνημιτόνου είναι $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$x + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{2} = x + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{2}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=2 x$$$:

$$x + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = x + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{2}$$

Επομένως,

$$\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} d x} = x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} d x} = x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx = \left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) + C$$$A