Ολοκλήρωμα της $$$x e^{f}$$$ ως προς $$$x$$$

Βρείτε $$$\int x e^{f}\, dx$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=e^{f}$$$ και $$$f{\left(x \right)} = x$$$:

$${\color{red}{\int{x e^{f} d x}}} = {\color{red}{e^{f} \int{x d x}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ με $$$n=1$$$:

$$e^{f} {\color{red}{\int{x d x}}}=e^{f} {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=e^{f} {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

Επομένως,

$$\int{x e^{f} d x} = \frac{x^{2} e^{f}}{2}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{x e^{f} d x} = \frac{x^{2} e^{f}}{2}+C$$

$$$\int x e^{f}\, dx = \frac{x^{2} e^{f}}{2} + C$$$A