Ολοκλήρωμα του $$$e^{\frac{u}{2}}$$$

Βρείτε $$$\int e^{\frac{u}{2}}\, du$$$.

Έστω $$$v=\frac{u}{2}$$$.

Τότε $$$dv=\left(\frac{u}{2}\right)^{\prime }du = \frac{du}{2}$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$du = 2 dv$$$.

Επομένως,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{u}{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{2 e^{v} d v}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ με $$$c=2$$$ και $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$:

$${\color{red}{\int{2 e^{v} d v}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{v} d v}\right)}}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = 2 {\color{red}{e^{v}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$v=\frac{u}{2}$$$:

$$2 e^{{\color{red}{v}}} = 2 e^{{\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}}}$$

Επομένως,

$$\int{e^{\frac{u}{2}} d u} = 2 e^{\frac{u}{2}}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{e^{\frac{u}{2}} d u} = 2 e^{\frac{u}{2}}+C$$

$$$\int e^{\frac{u}{2}}\, du = 2 e^{\frac{u}{2}} + C$$$A