Ολοκλήρωμα της $$$e^{a x}$$$ ως προς $$$x$$$

Βρείτε $$$\int e^{a x}\, dx$$$.

Έστω $$$u=a x$$$.

Τότε $$$du=\left(a x\right)^{\prime }dx = a dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = \frac{du}{a}$$$.

Το ολοκλήρωμα γίνεται

$${\color{red}{\int{e^{a x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{a} d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=\frac{1}{a}$$$ και $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{a} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{a}}}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{a} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{a}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=a x$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{a} = \frac{e^{{\color{red}{a x}}}}{a}$$

Επομένως,

$$\int{e^{a x} d x} = \frac{e^{a x}}{a}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{e^{a x} d x} = \frac{e^{a x}}{a}+C$$

$$$\int e^{a x}\, dx = \frac{e^{a x}}{a} + C$$$A