Ολοκλήρωμα του $$$e^{6 x}$$$

Βρείτε $$$\int e^{6 x}\, dx$$$.

Έστω $$$u=6 x$$$.

Τότε $$$du=\left(6 x\right)^{\prime }dx = 6 dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = \frac{du}{6}$$$.

Επομένως,

$${\color{red}{\int{e^{6 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{6} d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=\frac{1}{6}$$$ και $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{6} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{6}\right)}}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{6} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{6}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=6 x$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{6} = \frac{e^{{\color{red}{\left(6 x\right)}}}}{6}$$

Επομένως,

$$\int{e^{6 x} d x} = \frac{e^{6 x}}{6}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{e^{6 x} d x} = \frac{e^{6 x}}{6}+C$$

$$$\int e^{6 x}\, dx = \frac{e^{6 x}}{6} + C$$$A