Ολοκλήρωμα του $$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}$$$

Βρείτε $$$\int \left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$$.

Ολοκληρώστε όρο προς όρο:

$${\color{red}{\int{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\cos^{2}{\left(x \right)} d x} - \int{\cos^{2}{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον τύπο υποβιβασμού δυνάμεων $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$ με $$$\alpha=x$$$:

$$- \int{\cos^{2}{\left(2 x \right)} d x} + {\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(x \right)} d x}}} = - \int{\cos^{2}{\left(2 x \right)} d x} + {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d x}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=\frac{1}{2}$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)} + 1$$$:

$$- \int{\cos^{2}{\left(2 x \right)} d x} + {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d x}}} = - \int{\cos^{2}{\left(2 x \right)} d x} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right)d x}}{2}\right)}}$$

Ολοκληρώστε όρο προς όρο:

$$- \int{\cos^{2}{\left(2 x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right)d x}}}}{2} = - \int{\cos^{2}{\left(2 x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\left(\int{1 d x} + \int{\cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}}{2}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της σταθεράς $$$\int c\, dx = c x$$$ με $$$c=1$$$:

$$\frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}{2} - \int{\cos^{2}{\left(2 x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{1 d x}}}}{2} = \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}{2} - \int{\cos^{2}{\left(2 x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{x}}}{2}$$

Έστω $$$u=2 x$$$.

Τότε $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$$\frac{x}{2} - \int{\cos^{2}{\left(2 x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}}}{2} = \frac{x}{2} - \int{\cos^{2}{\left(2 x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=\frac{1}{2}$$$ και $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{x}{2} - \int{\cos^{2}{\left(2 x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2} = \frac{x}{2} - \int{\cos^{2}{\left(2 x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{2}$$

Το ολοκλήρωμα του συνημιτόνου είναι $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{x}{2} - \int{\cos^{2}{\left(2 x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{4} = \frac{x}{2} - \int{\cos^{2}{\left(2 x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{4}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=2 x$$$:

$$\frac{x}{2} - \int{\cos^{2}{\left(2 x \right)} d x} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{x}{2} - \int{\cos^{2}{\left(2 x \right)} d x} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{4}$$

Έστω $$$u=2 x$$$.

Τότε $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

Επομένως,

$$\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - {\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(2 x \right)} d x}}} = \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - {\color{red}{\int{\frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=\frac{1}{2}$$$ και $$$f{\left(u \right)} = \cos^{2}{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - {\color{red}{\int{\frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2} d u}}} = \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos^{2}{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον τύπο υποβιβασμού δυνάμεων $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$ με $$$\alpha= u $$$:

$$\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d u}}}}{2}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=\frac{1}{2}$$$ και $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \right)} + 1$$$:

$$\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d u}}}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 u \right)} + 1\right)d u}}{2}\right)}}}{2}$$

Το ολοκλήρωμα $$$\int{\left(\cos{\left(2 u \right)} + 1\right)d u}$$$ έχει ήδη υπολογιστεί:

$$\int{\left(\cos{\left(2 u \right)} + 1\right)d u} = u + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$$

Επομένως,

$$\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 u \right)} + 1\right)d u}}}}{4} = \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{{\color{red}{\left(u + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}\right)}}}{4}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=2 x$$$:

$$\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{u}} \right)}}{8} - \frac{{\color{red}{u}}}{4} = \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{8} - \frac{{\color{red}{\left(2 x\right)}}}{4}$$

Επομένως,

$$\int{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)d x} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$$

Απλοποιήστε:

$$\int{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)d x} = \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)d x} = \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)\, dx = \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + C$$$A