Ολοκλήρωμα του $$$9 e^{\sqrt{x}}$$$

Βρείτε $$$\int 9 e^{\sqrt{x}}\, dx$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=9$$$ και $$$f{\left(x \right)} = e^{\sqrt{x}}$$$:

$${\color{red}{\int{9 e^{\sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\left(9 \int{e^{\sqrt{x}} d x}\right)}}$$

Έστω $$$u=\sqrt{x}$$$.

Τότε $$$du=\left(\sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$.

Το ολοκλήρωμα γίνεται

$$9 {\color{red}{\int{e^{\sqrt{x}} d x}}} = 9 {\color{red}{\int{2 u e^{u} d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=2$$$ και $$$f{\left(u \right)} = u e^{u}$$$:

$$9 {\color{red}{\int{2 u e^{u} d u}}} = 9 {\color{red}{\left(2 \int{u e^{u} d u}\right)}}$$

Για το ολοκλήρωμα $$$\int{u e^{u} d u}$$$, χρησιμοποιήστε την ολοκλήρωση κατά μέρη $$$\int \operatorname{\mu} \operatorname{dv} = \operatorname{\mu}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\mu}$$$.

Έστω $$$\operatorname{\mu}=u$$$ και $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$.

Τότε $$$\operatorname{d\mu}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (τα βήματα φαίνονται ») και $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$ (τα βήματα φαίνονται »).

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$$18 {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}=18 {\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}=18 {\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$18 u e^{u} - 18 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 18 u e^{u} - 18 {\color{red}{e^{u}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=\sqrt{x}$$$:

$$- 18 e^{{\color{red}{u}}} + 18 {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}} = - 18 e^{{\color{red}{\sqrt{x}}}} + 18 {\color{red}{\sqrt{x}}} e^{{\color{red}{\sqrt{x}}}}$$

Επομένως,

$$\int{9 e^{\sqrt{x}} d x} = 18 \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - 18 e^{\sqrt{x}}$$

Απλοποιήστε:

$$\int{9 e^{\sqrt{x}} d x} = 18 \left(\sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{x}}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{9 e^{\sqrt{x}} d x} = 18 \left(\sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{x}}+C$$

$$$\int 9 e^{\sqrt{x}}\, dx = 18 \left(\sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{x}} + C$$$A