Ολοκλήρωμα του $$$\frac{\sqrt{4 x^{2} - 25}}{x}$$$

Βρείτε $$$\int \frac{\sqrt{4 x^{2} - 25}}{x}\, dx$$$.

Έστω $$$x=\frac{5 \cosh{\left(u \right)}}{2}$$$.

Τότε $$$dx=\left(\frac{5 \cosh{\left(u \right)}}{2}\right)^{\prime }du = \frac{5 \sinh{\left(u \right)}}{2} du$$$ (τα βήματα μπορούν να προβληθούν »).

Επίσης, έπεται ότι $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}$$$.

Επομένως,

$$$\frac{\sqrt{4 x^{2} - 25}}{x} = \frac{2 \sqrt{25 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 25}}{5 \cosh{\left( u \right)}}$$$

Χρησιμοποιήστε την ταυτότητα $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$:

$$$\frac{2 \sqrt{25 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 25}}{5 \cosh{\left( u \right)}}=\frac{2 \sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}{\cosh{\left( u \right)}}=\frac{2 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}{\cosh{\left( u \right)}}$$$

Υποθέτοντας ότι $$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$, προκύπτουν τα ακόλουθα:

$$$\frac{2 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}{\cosh{\left( u \right)}} = \frac{2 \sinh{\left( u \right)}}{\cosh{\left( u \right)}}$$$

Επομένως,

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{4 x^{2} - 25}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{5 \sinh^{2}{\left(u \right)}}{\cosh{\left(u \right)}} d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=5$$$ και $$$f{\left(u \right)} = \frac{\sinh^{2}{\left(u \right)}}{\cosh{\left(u \right)}}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{5 \sinh^{2}{\left(u \right)}}{\cosh{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(5 \int{\frac{\sinh^{2}{\left(u \right)}}{\cosh{\left(u \right)}} d u}\right)}}$$

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με ένα υπερβολικό συνημίτονο και εκφράστε τα υπόλοιπα σε όρους του υπερβολικού ημιτόνου, χρησιμοποιώντας τον τύπο $$$\cosh^2\left(\alpha \right)=\sinh^2\left(\alpha \right)+1$$$ με $$$\alpha= u $$$:

$$5 {\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(u \right)}}{\cosh{\left(u \right)}} d u}}} = 5 {\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(u \right)} \cosh{\left(u \right)}}{\sinh^{2}{\left(u \right)} + 1} d u}}}$$

Έστω $$$v=\sinh{\left(u \right)}$$$.

Τότε $$$dv=\left(\sinh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \cosh{\left(u \right)} du$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$\cosh{\left(u \right)} du = dv$$$.

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$$5 {\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(u \right)} \cosh{\left(u \right)}}{\sinh^{2}{\left(u \right)} + 1} d u}}} = 5 {\color{red}{\int{\frac{v^{2}}{v^{2} + 1} d v}}}$$

Επαναγράψτε και διασπάστε το κλάσμα:

$$5 {\color{red}{\int{\frac{v^{2}}{v^{2} + 1} d v}}} = 5 {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{v^{2} + 1}\right)d v}}}$$

Ολοκληρώστε όρο προς όρο:

$$5 {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{v^{2} + 1}\right)d v}}} = 5 {\color{red}{\left(\int{1 d v} - \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της σταθεράς $$$\int c\, dv = c v$$$ με $$$c=1$$$:

$$- 5 \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} + 5 {\color{red}{\int{1 d v}}} = - 5 \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} + 5 {\color{red}{v}}$$

Το ολοκλήρωμα του $$$\frac{1}{v^{2} + 1}$$$ είναι $$$\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} = \operatorname{atan}{\left(v \right)}$$$:

$$5 v - 5 {\color{red}{\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}} = 5 v - 5 {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(v \right)}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$v=\sinh{\left(u \right)}$$$:

$$- 5 \operatorname{atan}{\left({\color{red}{v}} \right)} + 5 {\color{red}{v}} = - 5 \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\sinh{\left(u \right)}}} \right)} + 5 {\color{red}{\sinh{\left(u \right)}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}$$$:

$$5 \sinh{\left({\color{red}{u}} \right)} - 5 \operatorname{atan}{\left(\sinh{\left({\color{red}{u}} \right)} \right)} = 5 \sinh{\left({\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}} \right)} - 5 \operatorname{atan}{\left(\sinh{\left({\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}} \right)} \right)}$$

Επομένως,

$$\int{\frac{\sqrt{4 x^{2} - 25}}{x} d x} = 5 \sqrt{\frac{2 x}{5} - 1} \sqrt{\frac{2 x}{5} + 1} - 5 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\frac{2 x}{5} - 1} \sqrt{\frac{2 x}{5} + 1} \right)}$$

Απλοποιήστε:

$$\int{\frac{\sqrt{4 x^{2} - 25}}{x} d x} = \sqrt{2 x - 5} \sqrt{2 x + 5} - 5 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 x - 5} \sqrt{2 x + 5}}{5} \right)}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\frac{\sqrt{4 x^{2} - 25}}{x} d x} = \sqrt{2 x - 5} \sqrt{2 x + 5} - 5 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 x - 5} \sqrt{2 x + 5}}{5} \right)}+C$$

$$$\int \frac{\sqrt{4 x^{2} - 25}}{x}\, dx = \left(\sqrt{2 x - 5} \sqrt{2 x + 5} - 5 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 x - 5} \sqrt{2 x + 5}}{5} \right)}\right) + C$$$A