Ολοκλήρωμα του $$$x^{2} \ln\left(x\right)$$$

Βρείτε $$$\int x^{2} \ln\left(x\right)\, dx$$$.

Για το ολοκλήρωμα $$$\int{x^{2} \ln{\left(x \right)} d x}$$$, χρησιμοποιήστε την ολοκλήρωση κατά μέρη $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Έστω $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ και $$$\operatorname{dv}=x^{2} dx$$$.

Τότε $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (τα βήματα φαίνονται ») και $$$\operatorname{v}=\int{x^{2} d x}=\frac{x^{3}}{3}$$$ (τα βήματα φαίνονται »).

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$${\color{red}{\int{x^{2} \ln{\left(x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot \frac{x^{3}}{3}-\int{\frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}}{3} - \int{\frac{x^{2}}{3} d x}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=\frac{1}{3}$$$ και $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$:

$$\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}}{3} - {\color{red}{\int{\frac{x^{2}}{3} d x}}} = \frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}}{3} - {\color{red}{\left(\frac{\int{x^{2} d x}}{3}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ με $$$n=2$$$:

$$\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}}{3} - \frac{{\color{red}{\int{x^{2} d x}}}}{3}=\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}}{3} - \frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{3}=\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}}{3} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}}{3}$$

Επομένως,

$$\int{x^{2} \ln{\left(x \right)} d x} = \frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}$$

Απλοποιήστε:

$$\int{x^{2} \ln{\left(x \right)} d x} = \frac{x^{3} \left(3 \ln{\left(x \right)} - 1\right)}{9}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{x^{2} \ln{\left(x \right)} d x} = \frac{x^{3} \left(3 \ln{\left(x \right)} - 1\right)}{9}+C$$

$$$\int x^{2} \ln\left(x\right)\, dx = \frac{x^{3} \left(3 \ln\left(x\right) - 1\right)}{9} + C$$$A