Ολοκλήρωμα του $$$\frac{e^{- y}}{y}$$$

Βρείτε $$$\int \frac{e^{- y}}{y}\, dy$$$.

Έστω $$$u=- y$$$.

Τότε $$$du=\left(- y\right)^{\prime }dy = - dy$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dy = - du$$$.

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- y}}{y} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}}$$

Αυτό το ολοκλήρωμα (Εκθετικό Ολοκλήρωμα) δεν έχει κλειστή μορφή:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=- y$$$:

$$\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(- y\right)}} \right)}$$

Επομένως,

$$\int{\frac{e^{- y}}{y} d y} = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\frac{e^{- y}}{y} d y} = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)}+C$$

$$$\int \frac{e^{- y}}{y}\, dy = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)} + C$$$A