Ολοκλήρωμα της $$$e^{\frac{u}{v}}$$$ ως προς $$$u$$$

Βρείτε $$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du$$$.

Έστω $$$w=\frac{u}{v}$$$.

Τότε $$$dw=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime }du = \frac{du}{v}$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$du = v dw$$$.

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$${\color{red}{\int{e^{\frac{u}{v}} d u}}} = {\color{red}{\int{v e^{w} d w}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ με $$$c=v$$$ και $$$f{\left(w \right)} = e^{w}$$$:

$${\color{red}{\int{v e^{w} d w}}} = {\color{red}{v \int{e^{w} d w}}}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{w} d w} = e^{w}$$$:

$$v {\color{red}{\int{e^{w} d w}}} = v {\color{red}{e^{w}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$w=\frac{u}{v}$$$:

$$v e^{{\color{red}{w}}} = v e^{{\color{red}{\frac{u}{v}}}}$$

Επομένως,

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}+C$$

$$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du = v e^{\frac{u}{v}} + C$$$A