Ολοκλήρωμα της $$$a l t \left(x - \pi\right) \cos{\left(x \right)}$$$ ως προς $$$x$$$

Βρείτε $$$\int a l t \left(x - \pi\right) \cos{\left(x \right)}\, dx$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=a l t$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \left(x - \pi\right) \cos{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{a l t \left(x - \pi\right) \cos{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{a l t \int{\left(x - \pi\right) \cos{\left(x \right)} d x}}}$$

Για το ολοκλήρωμα $$$\int{\left(x - \pi\right) \cos{\left(x \right)} d x}$$$, χρησιμοποιήστε την ολοκλήρωση κατά μέρη $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Έστω $$$\operatorname{u}=x - \pi$$$ και $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(x \right)} dx$$$.

Τότε $$$\operatorname{du}=\left(x - \pi\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (τα βήματα φαίνονται ») και $$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(x \right)} d x}=\sin{\left(x \right)}$$$ (τα βήματα φαίνονται »).

Το ολοκλήρωμα γίνεται

$$a l t {\color{red}{\int{\left(x - \pi\right) \cos{\left(x \right)} d x}}}=a l t {\color{red}{\left(\left(x - \pi\right) \cdot \sin{\left(x \right)}-\int{\sin{\left(x \right)} \cdot 1 d x}\right)}}=a l t {\color{red}{\left(\left(x - \pi\right) \sin{\left(x \right)} - \int{\sin{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Το ολοκλήρωμα του ημιτόνου είναι $$$\int{\sin{\left(x \right)} d x} = - \cos{\left(x \right)}$$$:

$$a l t \left(\left(x - \pi\right) \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\sin{\left(x \right)} d x}}}\right) = a l t \left(\left(x - \pi\right) \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(- \cos{\left(x \right)}\right)}}\right)$$

Επομένως,

$$\int{a l t \left(x - \pi\right) \cos{\left(x \right)} d x} = a l t \left(\left(x - \pi\right) \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)$$

Απλοποιήστε:

$$\int{a l t \left(x - \pi\right) \cos{\left(x \right)} d x} = - a l t \left(\left(\pi - x\right) \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{a l t \left(x - \pi\right) \cos{\left(x \right)} d x} = - a l t \left(\left(\pi - x\right) \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)+C$$

$$$\int a l t \left(x - \pi\right) \cos{\left(x \right)}\, dx = - a l t \left(\left(\pi - x\right) \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) + C$$$A