Ολοκλήρωμα του $$$\cos{\left(3 t \right)}$$$

Βρείτε $$$\int \cos{\left(3 t \right)}\, dt$$$.

Έστω $$$u=3 t$$$.

Τότε $$$du=\left(3 t\right)^{\prime }dt = 3 dt$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dt = \frac{du}{3}$$$.

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$${\color{red}{\int{\cos{\left(3 t \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{3} d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=\frac{1}{3}$$$ και $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{3} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{3}\right)}}$$

Το ολοκλήρωμα του συνημιτόνου είναι $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{3}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=3 t$$$:

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{3} = \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(3 t\right)}} \right)}}{3}$$

Επομένως,

$$\int{\cos{\left(3 t \right)} d t} = \frac{\sin{\left(3 t \right)}}{3}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\cos{\left(3 t \right)} d t} = \frac{\sin{\left(3 t \right)}}{3}+C$$

$$$\int \cos{\left(3 t \right)}\, dt = \frac{\sin{\left(3 t \right)}}{3} + C$$$A