Ολοκλήρωμα του $$$\cos^{2}{\left(t \right)}$$$

Βρείτε $$$\int \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt$$$.

Εφαρμόστε τον τύπο υποβιβασμού δυνάμεων $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$ με $$$\alpha=t$$$:

$${\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(t \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d t}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ με $$$c=\frac{1}{2}$$$ και $$$f{\left(t \right)} = \cos{\left(2 t \right)} + 1$$$:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 t \right)} + 1\right)d t}}{2}\right)}}$$

Ολοκληρώστε όρο προς όρο:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 t \right)} + 1\right)d t}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\int{1 d t} + \int{\cos{\left(2 t \right)} d t}\right)}}}{2}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της σταθεράς $$$\int c\, dt = c t$$$ με $$$c=1$$$:

$$\frac{\int{\cos{\left(2 t \right)} d t}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{1 d t}}}}{2} = \frac{\int{\cos{\left(2 t \right)} d t}}{2} + \frac{{\color{red}{t}}}{2}$$

Έστω $$$u=2 t$$$.

Τότε $$$du=\left(2 t\right)^{\prime }dt = 2 dt$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dt = \frac{du}{2}$$$.

Επομένως,

$$\frac{t}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 t \right)} d t}}}}{2} = \frac{t}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=\frac{1}{2}$$$ και $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{t}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2} = \frac{t}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{2}$$

Το ολοκλήρωμα του συνημιτόνου είναι $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{t}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{4} = \frac{t}{2} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{4}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=2 t$$$:

$$\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{t}{2} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 t\right)}} \right)}}{4}$$

Επομένως,

$$\int{\cos^{2}{\left(t \right)} d t} = \frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\cos^{2}{\left(t \right)} d t} = \frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}+C$$

$$$\int \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt = \left(\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right) + C$$$A