Ολοκλήρωμα του $$$6 \cos{\left(2 x \right)}$$$

Βρείτε $$$\int 6 \cos{\left(2 x \right)}\, dx$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=6$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{6 \cos{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(6 \int{\cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

Έστω $$$u=2 x$$$.

Τότε $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$$6 {\color{red}{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}} = 6 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=\frac{1}{2}$$$ και $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$:

$$6 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}} = 6 {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

Το ολοκλήρωμα του συνημιτόνου είναι $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$3 {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = 3 {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=2 x$$$:

$$3 \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = 3 \sin{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}$$

Επομένως,

$$\int{6 \cos{\left(2 x \right)} d x} = 3 \sin{\left(2 x \right)}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{6 \cos{\left(2 x \right)} d x} = 3 \sin{\left(2 x \right)}+C$$

$$$\int 6 \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 3 \sin{\left(2 x \right)} + C$$$A