Ολοκλήρωμα του $$$\frac{3 x}{3 x - 2}$$$

Βρείτε $$$\int \frac{3 x}{3 x - 2}\, dx$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=3$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{3 x - 2}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{3 x}{3 x - 2} d x}}} = {\color{red}{\left(3 \int{\frac{x}{3 x - 2} d x}\right)}}$$

Ξαναγράψτε τον αριθμητή του ολοκληρωτέου ως $$$x=\frac{1}{3}\left(3 x - 2\right)+\frac{2}{3}$$$ και διασπάστε το κλάσμα:

$$3 {\color{red}{\int{\frac{x}{3 x - 2} d x}}} = 3 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3 \left(3 x - 2\right)}\right)d x}}}$$

Ολοκληρώστε όρο προς όρο:

$$3 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3 \left(3 x - 2\right)}\right)d x}}} = 3 {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{3} d x} + \int{\frac{2}{3 \left(3 x - 2\right)} d x}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της σταθεράς $$$\int c\, dx = c x$$$ με $$$c=\frac{1}{3}$$$:

$$3 \int{\frac{2}{3 \left(3 x - 2\right)} d x} + 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{3} d x}}} = 3 \int{\frac{2}{3 \left(3 x - 2\right)} d x} + 3 {\color{red}{\left(\frac{x}{3}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=\frac{2}{3}$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{3 x - 2}$$$:

$$x + 3 {\color{red}{\int{\frac{2}{3 \left(3 x - 2\right)} d x}}} = x + 3 {\color{red}{\left(\frac{2 \int{\frac{1}{3 x - 2} d x}}{3}\right)}}$$

Έστω $$$u=3 x - 2$$$.

Τότε $$$du=\left(3 x - 2\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = \frac{du}{3}$$$.

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$$x + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 x - 2} d x}}} = x + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 u} d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=\frac{1}{3}$$$ και $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$:

$$x + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 u} d u}}} = x + 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{3}\right)}}$$

Το ολοκλήρωμα του $$$\frac{1}{u}$$$ είναι $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$x + \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{3} = x + \frac{2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{3}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=3 x - 2$$$:

$$x + \frac{2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{3} = x + \frac{2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(3 x - 2\right)}}}\right| \right)}}{3}$$

Επομένως,

$$\int{\frac{3 x}{3 x - 2} d x} = x + \frac{2 \ln{\left(\left|{3 x - 2}\right| \right)}}{3}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\frac{3 x}{3 x - 2} d x} = x + \frac{2 \ln{\left(\left|{3 x - 2}\right| \right)}}{3}+C$$

$$$\int \frac{3 x}{3 x - 2}\, dx = \left(x + \frac{2 \ln\left(\left|{3 x - 2}\right|\right)}{3}\right) + C$$$A