Ολοκλήρωμα του $$$\frac{1}{3} - x^{2}$$$

Βρείτε $$$\int \left(\frac{1}{3} - x^{2}\right)\, dx$$$.

Ολοκληρώστε όρο προς όρο:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{1}{3} - x^{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{3} d x} - \int{x^{2} d x}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της σταθεράς $$$\int c\, dx = c x$$$ με $$$c=\frac{1}{3}$$$:

$$- \int{x^{2} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{3} d x}}} = - \int{x^{2} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x}{3}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ με $$$n=2$$$:

$$\frac{x}{3} - {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=\frac{x}{3} - {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=\frac{x}{3} - {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

Επομένως,

$$\int{\left(\frac{1}{3} - x^{2}\right)d x} = - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x}{3}$$

Απλοποιήστε:

$$\int{\left(\frac{1}{3} - x^{2}\right)d x} = \frac{x \left(1 - x^{2}\right)}{3}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\left(\frac{1}{3} - x^{2}\right)d x} = \frac{x \left(1 - x^{2}\right)}{3}+C$$

$$$\int \left(\frac{1}{3} - x^{2}\right)\, dx = \frac{x \left(1 - x^{2}\right)}{3} + C$$$A