Ολοκλήρωμα του $$$\frac{1}{x^{2} + x - 2}$$$

Βρείτε $$$\int \frac{1}{x^{2} + x - 2}\, dx$$$.

Εκτελέστε αποσύνθεση σε μερικά κλάσματα (τα βήματα μπορούν να προβληθούν »):

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} + x - 2} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{3 \left(x + 2\right)} + \frac{1}{3 \left(x - 1\right)}\right)d x}}}$$

Ολοκληρώστε όρο προς όρο:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{3 \left(x + 2\right)} + \frac{1}{3 \left(x - 1\right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{3 \left(x - 1\right)} d x} - \int{\frac{1}{3 \left(x + 2\right)} d x}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=\frac{1}{3}$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$$$:

$$\int{\frac{1}{3 \left(x - 1\right)} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{3 \left(x + 2\right)} d x}}} = \int{\frac{1}{3 \left(x - 1\right)} d x} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x + 2} d x}}{3}\right)}}$$

Έστω $$$u=x + 2$$$.

Τότε $$$du=\left(x + 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = du$$$.

Επομένως,

$$\int{\frac{1}{3 \left(x - 1\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x + 2} d x}}}}{3} = \int{\frac{1}{3 \left(x - 1\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{3}$$

Το ολοκλήρωμα του $$$\frac{1}{u}$$$ είναι $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\int{\frac{1}{3 \left(x - 1\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{3} = \int{\frac{1}{3 \left(x - 1\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{3}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=x + 2$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{3} + \int{\frac{1}{3 \left(x - 1\right)} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x + 2\right)}}}\right| \right)}}{3} + \int{\frac{1}{3 \left(x - 1\right)} d x}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=\frac{1}{3}$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{3} + {\color{red}{\int{\frac{1}{3 \left(x - 1\right)} d x}}} = - \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{3} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x - 1} d x}}{3}\right)}}$$

Έστω $$$u=x - 1$$$.

Τότε $$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = du$$$.

Το ολοκλήρωμα γίνεται

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{3} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x - 1} d x}}}}{3} = - \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{3} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{3}$$

Το ολοκλήρωμα του $$$\frac{1}{u}$$$ είναι $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{3} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{3} = - \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{3} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{3}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=x - 1$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{3} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{3} = - \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{3} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 1\right)}}}\right| \right)}}{3}$$

Επομένως,

$$\int{\frac{1}{x^{2} + x - 2} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}}{3} - \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{3}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\frac{1}{x^{2} + x - 2} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}}{3} - \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{3}+C$$

$$$\int \frac{1}{x^{2} + x - 2}\, dx = \left(\frac{\ln\left(\left|{x - 1}\right|\right)}{3} - \frac{\ln\left(\left|{x + 2}\right|\right)}{3}\right) + C$$$A