Ολοκλήρωμα της $$$\frac{y}{\cos{\left(x \right)}}$$$ ως προς $$$x$$$

Βρείτε $$$\int \frac{y}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$$$.

Εκφράστε το συνημίτονο σε όρους του ημιτόνου χρησιμοποιώντας τον τύπο $$$\cos\left(x\right)=\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$$$ και στη συνέχεια εκφράστε το ημίτονο χρησιμοποιώντας τον τύπο της διπλής γωνίας $$$\sin\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{y}{\cos{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{y}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}}$$

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με $$$\sec^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{y}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{y \sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}}$$

Έστω $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$.

Τότε $$$du=\left(\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} dx = 2 du$$$.

Το ολοκλήρωμα γίνεται

$${\color{red}{\int{\frac{y \sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{y}{u} d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=y$$$ και $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{y}{u} d u}}} = {\color{red}{y \int{\frac{1}{u} d u}}}$$

Το ολοκλήρωμα του $$$\frac{1}{u}$$$ είναι $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$y {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = y {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$:

$$y \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = y \ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}}}\right| \right)}$$

Επομένως,

$$\int{\frac{y}{\cos{\left(x \right)}} d x} = y \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\frac{y}{\cos{\left(x \right)}} d x} = y \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{y}{\cos{\left(x \right)}}\, dx = y \ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right|\right) + C$$$A