Ολοκλήρωμα του $$$\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$$

Βρείτε $$$\int \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$$$.

Επαναγράψτε τον ολοκληρωτέο χρησιμοποιώντας τον τύπο $$$\cos\left(\alpha \right)\cos\left(\beta \right)=\frac{1}{2} \cos\left(\alpha-\beta \right)+\frac{1}{2} \cos\left(\alpha+\beta \right)$$$ με $$$\alpha=x$$$ και $$$\beta=2 x$$$:

$${\color{red}{\int{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{2}\right)d x}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=\frac{1}{2}$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right)d x}}{2}\right)}}$$

Ολοκληρώστε όρο προς όρο:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right)d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\int{\cos{\left(x \right)} d x} + \int{\cos{\left(3 x \right)} d x}\right)}}}{2}$$

Το ολοκλήρωμα του συνημιτόνου είναι $$$\int{\cos{\left(x \right)} d x} = \sin{\left(x \right)}$$$:

$$\frac{\int{\cos{\left(3 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(x \right)} d x}}}}{2} = \frac{\int{\cos{\left(3 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(x \right)}}}}{2}$$

Έστω $$$u=3 x$$$.

Τότε $$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = \frac{du}{3}$$$.

Επομένως,

$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(3 x \right)} d x}}}}{2} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{3} d u}}}}{2}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=\frac{1}{3}$$$ και $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{3} d u}}}}{2} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{3}\right)}}}{2}$$

Το ολοκλήρωμα του συνημιτόνου είναι $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{6} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{6}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=3 x$$$:

$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{6} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(3 x\right)}} \right)}}{6}$$

Επομένως,

$$\int{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{6}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{6}+C$$

$$$\int \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{6}\right) + C$$$A