Ολοκλήρωμα της $$$x - x x^{- s} - 1$$$ ως προς $$$x$$$

Βρείτε $$$\int \left(x - x x^{- s} - 1\right)\, dx$$$.

Η είσοδος επαναγράφεται: $$$\int{\left(x - x x^{- s} - 1\right)d x}=\int{\left(x - x^{1 - s} - 1\right)d x}$$$.

Ολοκληρώστε όρο προς όρο:

$${\color{red}{\int{\left(x - x^{1 - s} - 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d x} + \int{x d x} - \int{x^{1 - s} d x}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της σταθεράς $$$\int c\, dx = c x$$$ με $$$c=1$$$:

$$\int{x d x} - \int{x^{1 - s} d x} - {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{x d x} - \int{x^{1 - s} d x} - {\color{red}{x}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ με $$$n=1$$$:

$$- x - \int{x^{1 - s} d x} + {\color{red}{\int{x d x}}}=- x - \int{x^{1 - s} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- x - \int{x^{1 - s} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ με $$$n=1 - s$$$:

$$\frac{x^{2}}{2} - x - {\color{red}{\int{x^{1 - s} d x}}}=\frac{x^{2}}{2} - x - {\color{red}{\frac{x^{\left(1 - s\right) + 1}}{\left(1 - s\right) + 1}}}=\frac{x^{2}}{2} - x - {\color{red}{\frac{x^{2 - s}}{2 - s}}}$$

Επομένως,

$$\int{\left(x - x^{1 - s} - 1\right)d x} = \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{x^{2 - s}}{2 - s}$$

Απλοποιήστε:

$$\int{\left(x - x^{1 - s} - 1\right)d x} = \frac{\frac{x \left(s - 2\right) \left(x - 2\right)}{2} + x^{2 - s}}{s - 2}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\left(x - x^{1 - s} - 1\right)d x} = \frac{\frac{x \left(s - 2\right) \left(x - 2\right)}{2} + x^{2 - s}}{s - 2}+C$$

$$$\int \left(x - x x^{- s} - 1\right)\, dx = \frac{\frac{x \left(s - 2\right) \left(x - 2\right)}{2} + x^{2 - s}}{s - 2} + C$$$A