Ολοκλήρωμα του $$$3 x^{2} - 1$$$

Βρείτε $$$\int \left(3 x^{2} - 1\right)\, dx$$$.

Ολοκληρώστε όρο προς όρο:

$${\color{red}{\int{\left(3 x^{2} - 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d x} + \int{3 x^{2} d x}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της σταθεράς $$$\int c\, dx = c x$$$ με $$$c=1$$$:

$$\int{3 x^{2} d x} - {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{3 x^{2} d x} - {\color{red}{x}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=3$$$ και $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$:

$$- x + {\color{red}{\int{3 x^{2} d x}}} = - x + {\color{red}{\left(3 \int{x^{2} d x}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ με $$$n=2$$$:

$$- x + 3 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=- x + 3 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- x + 3 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

Επομένως,

$$\int{\left(3 x^{2} - 1\right)d x} = x^{3} - x$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\left(3 x^{2} - 1\right)d x} = x^{3} - x+C$$

$$$\int \left(3 x^{2} - 1\right)\, dx = \left(x^{3} - x\right) + C$$$A