Ολοκλήρωμα του $$$\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}$$$

Βρείτε $$$\int \frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}\, dx$$$.

Έστω $$$u=x^{3}$$$.

Τότε $$$du=\left(x^{3}\right)^{\prime }dx = 3 x^{2} dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$x^{2} dx = \frac{du}{3}$$$.

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$${\color{red}{\int{\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} d u}}}$$

Έστω $$$v=\frac{1}{u}$$$.

Τότε $$$dv=\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime }du = - \frac{1}{u^{2}} du$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$\frac{du}{u^{2}} = - dv$$$.

Επομένως,

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ με $$$c=-1$$$ και $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{v} d v}\right)}}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$:

$$- {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = - {\color{red}{e^{v}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$v=\frac{1}{u}$$$:

$$- e^{{\color{red}{v}}} = - e^{{\color{red}{\frac{1}{u}}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=x^{3}$$$:

$$- e^{{\color{red}{u}}^{-1}} = - e^{{\color{red}{x^{3}}}^{-1}}$$

Επομένως,

$$\int{\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x} = - e^{\frac{1}{x^{3}}}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x} = - e^{\frac{1}{x^{3}}}+C$$

$$$\int \frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}\, dx = - e^{\frac{1}{x^{3}}} + C$$$A