Ολοκλήρωμα του $$$\frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2}$$$

Βρείτε $$$\int \frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2}\, dt$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ με $$$c=\frac{1}{2}$$$ και $$$f{\left(t \right)} = \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2} d t}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)} d t}}{2}\right)}}$$

Έστω $$$u=\frac{t}{2}$$$.

Τότε $$$du=\left(\frac{t}{2}\right)^{\prime }dt = \frac{dt}{2}$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dt = 2 du$$$.

Το ολοκλήρωμα γίνεται

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)} d t}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{2 \cos{\left(u \right)} d u}}}}{2}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=2$$$ και $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{2 \cos{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(2 \int{\cos{\left(u \right)} d u}\right)}}}{2}$$

Το ολοκλήρωμα του συνημιτόνου είναι $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=\frac{t}{2}$$$:

$$\sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = \sin{\left({\color{red}{\left(\frac{t}{2}\right)}} \right)}$$

Επομένως,

$$\int{\frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2} d t} = \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2} d t} = \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}+C$$

$$$\int \frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2}\, dt = \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} + C$$$A