Ιδιότητες της παραβολής $$$y = \frac{x^{2}}{12}$$$

Να βρεθούν η κορυφή, η εστία, η διευθετούσα, ο άξονας συμμετρίας, η εστιακή χορδή, το μήκος της εστιακής χορδής (εστιακό πλάτος), η εστιακή παράμετρος, η εστιακή απόσταση, η εκκεντρότητα, οι τομές με τον άξονα x, οι τομές με τον άξονα y, το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της παραβολής $$$y = \frac{x^{2}}{12}$$$.

Η εξίσωση μιας παραβολής είναι $$$y = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(x - h\right)^{2} + k$$$, όπου $$$\left(h, k\right)$$$ είναι η κορυφή και $$$\left(h, f\right)$$$ είναι η εστία.

Η παραβολή μας σε αυτή τη μορφή είναι $$$y = \frac{1}{4 \left(3 - 0\right)} \left(x - 0\right)^{2} + 0$$$.

Άρα, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$f = 3$$$.

Η τυπική μορφή είναι $$$y = \frac{x^{2}}{12}$$$.

Η γενική μορφή είναι $$$x^{2} - 12 y = 0$$$.

Η μορφή κορυφής είναι $$$y = \frac{x^{2}}{12}$$$.

Η διευθετούσα είναι $$$y = d$$$.

Για να βρείτε $$$d$$$, χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι η απόσταση από την εστία έως την κορυφή είναι ίση με την απόσταση από την κορυφή έως τη διευθετούσα: $$$0 - 3 = d - 0$$$.

Επομένως, η διευθετούσα είναι $$$y = -3$$$.

Ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία κάθετη στη διευθετούσα που διέρχεται από την κορυφή και την εστία: $$$x = 0$$$

Η εστιακή απόσταση είναι η απόσταση μεταξύ της εστίας και της κορυφής: $$$3$$$.

Η εστιακή παράμετρος είναι η απόσταση μεταξύ της εστίας και της διευθετούσας: $$$6$$$.

Η παράμετρος είναι παράλληλη προς τη διευθετούσα και διέρχεται από την εστία: $$$y = 3$$$.

Τα άκρα της ορθής παραμέτρου μπορούν να βρεθούν λύνοντας το σύστημα $$$\begin{cases} x^{2} - 12 y = 0 \\ y = 3 \end{cases}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής συστήματος εξισώσεων).

Τα άκρα της ορθής εστιακής χορδής είναι $$$\left(-6, 3\right)$$$, $$$\left(6, 3\right)$$$.

Το μήκος της εστιακής χορδής (εστιακό πλάτος) είναι τετραπλάσιο της απόστασης μεταξύ της κορυφής και της εστίας: $$$12$$$.

Η εκκεντρότητα μιας παραβολής είναι πάντα $$$1$$$.

Οι τομές με τον άξονα x μπορούν να βρεθούν θέτοντας $$$y = 0$$$ στην εξίσωση και λύνοντας ως προς $$$x$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής τομών με τους άξονες).

Τομή με τον άξονα x: $$$\left(0, 0\right)$$$.

Οι τομές με τον άξονα y μπορούν να βρεθούν θέτοντας $$$x = 0$$$ στην εξίσωση και λύνοντας ως προς $$$y$$$: (για τα βήματα, δείτε intercepts calculator).

Τομή με τον άξονα y: $$$\left(0, 0\right)$$$.

Κανονική μορφή/εξίσωση: $$$y = \frac{x^{2}}{12}$$$A.

Γενική μορφή/εξίσωση: $$$x^{2} - 12 y = 0$$$A.

Μορφή/εξίσωση κορυφής: $$$y = \frac{x^{2}}{12}$$$A.

Μορφή/εξίσωση εστίας-διευθετούσας: $$$x^{2} + \left(y - 3\right)^{2} = \left(y + 3\right)^{2}$$$A.

Μορφή/εξίσωση ακροτομών: $$$y = \frac{x^{2}}{12}$$$A.

Γράφημα: δείτε το graphing calculator.

Κορυφή: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Εστία: $$$\left(0, 3\right)$$$A.

Διευθετούσα: $$$y = -3$$$A.

Άξονας συμμετρίας: $$$x = 0$$$A.

Ορθή διευθετούσα: $$$y = 3$$$A.

Άκρα της ορθόπλευρης χορδής: $$$\left(-6, 3\right)$$$, $$$\left(6, 3\right)$$$A.

Μήκος της παραμετρικής χορδής (εστιακό πλάτος): $$$12$$$A.

Εστιακή παράμετρος: $$$6$$$A.

Εστιακή απόσταση: $$$3$$$A.

Εκκεντρότητα: $$$1$$$A.

Τομή με τον άξονα x: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Τομή με τον άξονα y: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Πεδίο ορισμού: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Σύνολο τιμών: $$$\left[0, \infty\right)$$$A.