Αριθμομηχανή ριζών μιγαδικού αριθμού
Βρείτε τις ρίζες ενός μιγαδικού αριθμού και τις ρίζες της μονάδας βήμα προς βήμα
Η αριθμομηχανή θα βρει τις $$$n$$$-οστές ρίζες του δοθέντος μιγαδικού αριθμού χρησιμοποιώντας τον τύπο του Ντε Μουάβρ, με εμφάνιση των βημάτων.
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\sqrt[4]{81 i}$$$.
Λύση
Η πολική μορφή του $$$81 i$$$ είναι $$$81 \left(\cos{\left(\frac{\pi}{2} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{2} \right)}\right)$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής πολικής μορφής).
Σύμφωνα με τον τύπο του De Moivre, όλες οι $$$n$$$-οστές ρίζες ενός μιγαδικού αριθμού $$$r \left(\cos{\left(\theta \right)} + i \sin{\left(\theta \right)}\right)$$$ δίνονται από $$$r^{\frac{1}{n}} \left(\cos{\left(\frac{\theta + 2 \pi k}{n} \right)} + i \sin{\left(\frac{\theta + 2 \pi k}{n} \right)}\right)$$$, $$$k=\overline{0..n-1}$$$.
Έχουμε ότι $$$r = 81$$$, $$$\theta = \frac{\pi}{2}$$$ και $$$n = 4$$$.
- $$$k = 0$$$: $$$\sqrt[4]{81} \left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 0}{4} \right)} + i \sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 0}{4} \right)}\right) = 3 \left(\cos{\left(\frac{\pi}{8} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{8} \right)}\right) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 3 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$$
- $$$k = 1$$$: $$$\sqrt[4]{81} \left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 1}{4} \right)} + i \sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 1}{4} \right)}\right) = 3 \left(\cos{\left(\frac{5 \pi}{8} \right)} + i \sin{\left(\frac{5 \pi}{8} \right)}\right) = - 3 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$$
- $$$k = 2$$$: $$$\sqrt[4]{81} \left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 2}{4} \right)} + i \sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 2}{4} \right)}\right) = 3 \left(\cos{\left(\frac{9 \pi}{8} \right)} + i \sin{\left(\frac{9 \pi}{8} \right)}\right) = - 3 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 3 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$$
- $$$k = 3$$$: $$$\sqrt[4]{81} \left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 3}{4} \right)} + i \sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 3}{4} \right)}\right) = 3 \left(\cos{\left(\frac{13 \pi}{8} \right)} + i \sin{\left(\frac{13 \pi}{8} \right)}\right) = 3 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$$
Απάντηση
$$$\sqrt[4]{81 i} = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 3 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\approx 2.77163859753386 + 1.148050297095269 i$$$A
$$$\sqrt[4]{81 i} = - 3 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\approx -1.148050297095269 + 2.77163859753386 i$$$A
$$$\sqrt[4]{81 i} = - 3 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 3 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\approx -2.77163859753386 - 1.148050297095269 i$$$A
$$$\sqrt[4]{81 i} = 3 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\approx 1.148050297095269 - 2.77163859753386 i$$$A