Dreieck-Rechner

Der Rechner versucht, alle Seiten und Winkel des Dreiecks (rechteckiges Dreieck, stumpfes, spitzes, gleichschenkliges, gleichseitiges Dreieck) sowie seinen Umfang und seine Fläche mit angezeigten Schritten zu finden.

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Löse das Dreieck, wenn $$$a = 9$$$, $$$b = 10$$$, $$$C = 45^0$$$.

Lösung

Nach dem Kosinusgesetz: $$$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos{\left(C \right)}$$$.

In unserem Fall $$$c^{2} = 9^{2} + 10^{2} - \left(2\right)\cdot \left(9\right)\cdot \left(10\right)\cdot \left(\cos{\left(45^0 \right)}\right) = 181 - 90 \sqrt{2}.$$$

Also $$$c = \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}$$$.

Nach dem Sinusgesetz: $$$\frac{a}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{c}{\sin{\left(C \right)}}$$$.

In unserem Fall $$$\frac{9}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{\sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}}{\sin{\left(45^0 \right)}}$$$.

Also $$$\sin{\left(A \right)} = \frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}}$$$.

Es gibt zwei mögliche Fälle:

  1. $$$A = \left(\frac{180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)}}{\pi}\right)^0$$$

    Der dritte Winkel ist $$$B = 180^0 - \left(A + C\right)$$$.

    In unserem Fall $$$B = 180^0 - \left(\left(\frac{180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)}}{\pi}\right)^0 + 45^0\right) = \left(\frac{- \pi \left(45 + \frac{180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)}}{\pi}\right) + 180 \pi}{\pi}\right)^0.$$$

    Das Gebiet ist $$$S = \frac{1}{2} a b \sin{\left(C \right)} = \left(\frac{1}{2}\right)\cdot \left(9\right)\cdot \left(10\right)\cdot \left(\sin{\left(45^0 \right)}\right) = \frac{45 \sqrt{2}}{2}$$$

    Der Umfang ist $$$P = a + b + c = 9 + 10 + \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}} = \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}} + 19$$$

  2. $$$A = \left(\frac{- 180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)} + 180 \pi}{\pi}\right)^0$$$

    Der dritte Winkel ist $$$B = 180^0 - \left(A + C\right)$$$.

    In unserem Fall $$$B = 180^0 - \left(\left(\frac{- 180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)} + 180 \pi}{\pi}\right)^0 + 45^0\right) = \left(\frac{- \pi \left(45 + \frac{- 180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)} + 180 \pi}{\pi}\right) + 180 \pi}{\pi}\right)^0.$$$

    Dieser Fall ist unmöglich, da der Winkel gegenüber der längeren Seite größer sein muss.

Antwort

$$$a = 9$$$A

$$$b = 10$$$A

$$$c = \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}\approx 7.329446049083208$$$A

$$$A = \left(\frac{180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)}}{\pi}\right)^0\approx 60.258581489369345^0$$$A

$$$B = \left(\frac{- \pi \left(45 + \frac{180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)}}{\pi}\right) + 180 \pi}{\pi}\right)^0\approx 74.741418510630655^0$$$A

$$$C = 45^0$$$A

Bereich: $$$S = \frac{45 \sqrt{2}}{2}\approx 31.819805153394639$$$A.

Umfang: $$$P = \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}} + 19\approx 26.329446049083208$$$A.