Dreiecksrechner
Dreiecke Schritt für Schritt lösen
Der Rechner wird versuchen, alle Seiten und Winkel des Dreiecks (rechtwinklig, stumpfwinklig, spitzwinklig, gleichschenklig, gleichseitig) sowie seinen Umfang und seine Fläche zu bestimmen, mit angezeigten Rechenschritten.
Ihre Eingabe
Löse das Dreieck, falls $$$a = 9$$$, $$$b = 9 \sqrt{2}$$$, $$$C = 45^{\circ}$$$.
Lösung
Nach dem Kosinussatz: $$$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos{\left(C \right)}$$$.
In unserem Fall gilt $$$c^{2} = 9^{2} + \left(9 \sqrt{2}\right)^{2} - \left(2\right)\cdot \left(9\right)\cdot \left(9 \sqrt{2}\right)\cdot \left(\cos{\left(45^{\circ} \right)}\right) = 81.$$$
Somit gilt $$$c = 9$$$.
Nach dem Sinussatz gilt: $$$\frac{a}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{c}{\sin{\left(C \right)}}$$$.
In unserem Fall gilt $$$\frac{9}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{9}{\sin{\left(45^{\circ} \right)}}$$$.
Somit gilt $$$\sin{\left(A \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$.
Es gibt zwei mögliche Fälle:
$$$A = 45^{\circ}$$$
Der dritte Winkel ist $$$B = 180^{\circ} - \left(A + C\right)$$$.
In unserem Fall gilt $$$B = 180^{\circ} - \left(45^{\circ} + 45^{\circ}\right) = 90^{\circ}$$$.
Der Flächeninhalt ist $$$S = \frac{1}{2} a b \sin{\left(C \right)} = \left(\frac{1}{2}\right)\cdot \left(9\right)\cdot \left(9 \sqrt{2}\right)\cdot \left(\sin{\left(45^{\circ} \right)}\right) = \frac{81}{2}.$$$
Der Umfang ist $$$P = a + b + c = 9 + 9 \sqrt{2} + 9 = 9 \left(\sqrt{2} + 2\right)$$$.
$$$A = 135^{\circ}$$$
Der dritte Winkel ist $$$B = 180^{\circ} - \left(A + C\right)$$$.
In unserem Fall gilt $$$B = 180^{\circ} - \left(135^{\circ} + 45^{\circ}\right) = 0^{\circ}$$$.
Dieser Fall ist unmöglich, da der Winkel nichtpositiv ist.
Antwort
$$$a = 9$$$A
$$$b = 9 \sqrt{2}\approx 12.727922061357855$$$A
$$$c = 9$$$A
$$$A = 45^{\circ}$$$A
$$$B = 90^{\circ}$$$A
$$$C = 45^{\circ}$$$A
Flächeninhalt: $$$S = \frac{81}{2} = 40.5$$$A.
Umfang: $$$P = 9 \left(\sqrt{2} + 2\right)\approx 30.727922061357855$$$A.