|
|
|
|
|
Dreieck-Rechner
Der Rechner versucht, alle Seiten und Winkel des Dreiecks (rechteckiges Dreieck, stumpfes, spitzes, gleichschenkliges, gleichseitiges Dreieck) sowie seinen Umfang und seine Fläche mit angezeigten Schritten zu finden.
Deine Eingabe
Löse das Dreieck, wenn $$$a = 9$$$, $$$b = 10$$$, $$$C = 45^0$$$.
Lösung
Nach dem Kosinusgesetz: $$$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos{\left(C \right)}$$$.
In unserem Fall $$$c^{2} = 9^{2} + 10^{2} - \left(2\right)\cdot \left(9\right)\cdot \left(10\right)\cdot \left(\cos{\left(45^0 \right)}\right) = 181 - 90 \sqrt{2}.$$$
Also $$$c = \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}$$$.
Nach dem Sinusgesetz: $$$\frac{a}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{c}{\sin{\left(C \right)}}$$$.
In unserem Fall $$$\frac{9}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{\sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}}{\sin{\left(45^0 \right)}}$$$.
Also $$$\sin{\left(A \right)} = \frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}}$$$.
Es gibt zwei mögliche Fälle:
$$$A = \left(\frac{180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)}}{\pi}\right)^0$$$
Der dritte Winkel ist $$$B = 180^0 - \left(A + C\right)$$$.
In unserem Fall $$$B = 180^0 - \left(\left(\frac{180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)}}{\pi}\right)^0 + 45^0\right) = \left(\frac{- \pi \left(45 + \frac{180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)}}{\pi}\right) + 180 \pi}{\pi}\right)^0.$$$
Das Gebiet ist $$$S = \frac{1}{2} a b \sin{\left(C \right)} = \left(\frac{1}{2}\right)\cdot \left(9\right)\cdot \left(10\right)\cdot \left(\sin{\left(45^0 \right)}\right) = \frac{45 \sqrt{2}}{2}$$$
Der Umfang ist $$$P = a + b + c = 9 + 10 + \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}} = \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}} + 19$$$
$$$A = \left(\frac{- 180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)} + 180 \pi}{\pi}\right)^0$$$
Der dritte Winkel ist $$$B = 180^0 - \left(A + C\right)$$$.
In unserem Fall $$$B = 180^0 - \left(\left(\frac{- 180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)} + 180 \pi}{\pi}\right)^0 + 45^0\right) = \left(\frac{- \pi \left(45 + \frac{- 180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)} + 180 \pi}{\pi}\right) + 180 \pi}{\pi}\right)^0.$$$
Dieser Fall ist unmöglich, da der Winkel gegenüber der längeren Seite größer sein muss.
Antwort
$$$a = 9$$$A
$$$b = 10$$$A
$$$c = \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}\approx 7.329446049083208$$$A
$$$A = \left(\frac{180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)}}{\pi}\right)^0\approx 60.258581489369345^0$$$A
$$$B = \left(\frac{- \pi \left(45 + \frac{180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)}}{\pi}\right) + 180 \pi}{\pi}\right)^0\approx 74.741418510630655^0$$$A
$$$C = 45^0$$$A
Bereich: $$$S = \frac{45 \sqrt{2}}{2}\approx 31.819805153394639$$$A.
Umfang: $$$P = \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}} + 19\approx 26.329446049083208$$$A.