Tangentialebenen-Rechner
Tangentialebenen Schritt für Schritt finden
Der Rechner versucht, die Tangentialebene an die explizite und die implizite Kurve im gegebenen Punkt zu finden; die Schritte werden angezeigt.
Ihre Eingabe
Berechnen Sie die Tangentialebene an $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14$$$ im Punkt $$$\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)$$$.
Lösung
Die Funktion kann in der Form $$$F{\left(x,y,z \right)} = 0$$$ dargestellt werden, wobei $$$F{\left(x,y,z \right)} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14$$$ gilt.
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen.
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 x$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 y$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 z$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).
Berechnen Sie die Ableitungen am angegebenen Punkt.
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 x\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 2$$$
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 y\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 6$$$
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 z\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 4$$$
Die Gleichung der Tangentialebene lautet $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(x - x_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(y - y_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(z - z_{0}\right) = 0.$$$
In unserem Fall gilt $$$2 \left(x - 1\right) + 6 \left(y - 3\right) + 4 \left(z - 2\right) = 0$$$.
Dies kann als $$$2 x + 6 y + 4 z = 28$$$ umgeschrieben werden.
Oder einfacher: $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7$$$.
Antwort
Die Gleichung der Tangentialebene lautet $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7 = - 0.5 x - 1.5 y + 7$$$A.