Jacobi-Matrix und ihre Determinante für $$$\left\{u = x, v = y, w = x y\right\}$$$
Ihre Eingabe
Berechnen Sie die Jacobi-Matrix von $$$\left\{u = x, v = y, w = x y\right\}$$$.
Lösung
Die Jacobi-Matrix wird wie folgt definiert: $$$J{\left(u,v,w \right)}\left(x, y\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}\\\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\\\frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y}\end{array}\right].$$$
In unserem Fall gilt $$$J{\left(u,v,w \right)}\left(x, y\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial x} \left(x\right) & \frac{\partial x}{\partial y}\\\frac{\partial y}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \left(y\right)\\\frac{\partial}{\partial x} \left(x y\right) & \frac{\partial}{\partial y} \left(x y\right)\end{array}\right].$$$
Bestimmen Sie die Ableitungen (für die Schritte siehe Ableitungsrechner): $$$J{\left(u,v,w \right)}\left(x, y\right) = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\\y & x\end{array}\right]$$$.
Da die Matrix nicht quadratisch ist, existiert die Jacobi-Determinante nicht.
Antwort
Die Jacobi-Matrix ist $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\\y & x\end{array}\right]$$$A.
Die Jacobi-Determinante existiert nicht.