Jacobi-Matrix-Rechner
Jacobi-Matrix Schritt für Schritt berechnen
Der Rechner ermittelt die Jacobi-Matrix der Menge von Funktionen und die Jacobi-Determinante (falls möglich), mit angezeigten Rechenschritten.
Ihre Eingabe
Berechnen Sie die Jacobi-Matrix von $$$\left\{x = r \cos{\left(\theta \right)}, y = r \sin{\left(\theta \right)}\right\}$$$.
Lösung
Die Jacobi-Matrix wird wie folgt definiert: $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right].$$$
In unserem Fall gilt $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial r} \left(r \cos{\left(\theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(r \cos{\left(\theta \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial r} \left(r \sin{\left(\theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(r \sin{\left(\theta \right)}\right)\end{array}\right].$$$
Bestimmen Sie die Ableitungen (für die Schritte siehe Ableitungsrechner): $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right].$$$
Die Jacobi-Determinante ist die Determinante der Jacobi-Matrix: $$$\left|\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right| = r$$$ (für die Schritte siehe determinant calculator).
Antwort
Die Jacobi-Matrix ist $$$\left[\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right]$$$A.
Die Jacobi-Determinante ist $$$r$$$A.