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線性代數計算器
逐步求解線性代數問題
您的輸入
求$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]$$$的奇異值分解。
解答
求矩陣的轉置：$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 1\end{array}\right]$$$（步驟請參見 矩陣轉置計算器）。
將矩陣與其轉置相乘：$$$W = \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$ (步驟請見 矩陣乘法計算器).
現在，求出 $$$W$$$ 的特徵值與特徵向量（步驟請參見 特徵值與特徵向量計算器）。
特徵值：$$$- \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$$，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}- \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]$$$。
特徵值：$$$\frac{\sqrt{5} + 3}{2}$$$，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]$$$。
求非零特徵值（$$$\sigma_{i}$$$）的平方根：
$$$\sigma_{1} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2}$$$
$$$\sigma_{2} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2}$$$
矩陣 $$$\Sigma$$$ 是一個對角線元素為 $$$\sigma_{i}$$$、其餘元素皆為 0 的矩陣：$$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} & 0\\0 & \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2}\end{array}\right]$$$。
矩陣 $$$U$$$ 的各列是歸一化（單位）向量：$$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{- \sqrt{10} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]$$$（關於求單位向量的步驟，請參見 unit vector calculator）。
現在，$$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$：
$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{- \sqrt{10} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5 - \sqrt{5}}}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{1 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}}\\\frac{3 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}}\end{array}\right]$$$（步驟詳見 矩陣標量乘法計算器 和 矩陣乘法計算器）。
$$$v_{2} = \frac{1}{\sigma_{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{2} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{5} + 3}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]$$$（步驟詳見 矩陣標量乘法計算器 和 矩陣乘法計算器）。
因此，$$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{1 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}} & \frac{1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\\\frac{3 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{5} + 3}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]$$$。
矩陣 $$$U$$$、$$$\Sigma$$$ 和 $$$V$$$ 使得初始矩陣滿足 $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$。
答案
$$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{- \sqrt{10} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}-0.525731112119134 & 0.85065080835204\\0.85065080835204 & 0.525731112119134\end{array}\right]$$$A
$$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} & 0\\0 & \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.618033988749895 & 0\\0 & 1.618033988749895\end{array}\right]$$$A
$$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{1 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}} & \frac{1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\\\frac{3 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{5} + 3}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}-0.85065080835204 & 0.525731112119134\\0.525731112119134 & 0.85065080835204\end{array}\right]$$$A