$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$ 的奇異值分解

求$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$的奇異值分解。

求矩陣的轉置：$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]$$$（步驟請參見 矩陣轉置計算器）。

將矩陣與其轉置相乘：$$$W = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$ (步驟請見 矩陣乘法計算器).

現在，求出 $$$W$$$ 的特徵值與特徵向量（步驟請參見 特徵值與特徵向量計算器）。

特徵值：$$$1$$$，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$$$。

特徵值：$$$0$$$，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$$$。

求非零特徵值（$$$\sigma_{i}$$$）的平方根：

$$$\sigma_{1} = 1$$$

矩陣 $$$\Sigma$$$ 是一個對角線元素為 $$$\sigma_{i}$$$、其餘元素皆為 0 的矩陣：$$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$。

矩陣 $$$U$$$ 的各列是歸一化（單位）向量：$$$U = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]$$$（關於求單位向量的步驟，請參見 unit vector calculator）。

現在，$$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$：

$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{1}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$（步驟詳見 矩陣標量乘法計算器 和 矩陣乘法計算器）。

由於非零 $$$\sigma_{i}$$$ 已用盡且仍需再找一個向量，請透過求以已找到的向量為行所組成之矩陣的零空間，找出與所有已找到向量正交的向量：$$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$（步驟請參見 null space calculator）。

將向量單位化：它變為 $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$，(步驟請參見 單位向量計算器)。

因此，$$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$。

矩陣 $$$U$$$、$$$\Sigma$$$ 和 $$$V$$$ 使得初始矩陣滿足 $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$。

$$$U = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$A

$$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.707106781186548 & -0.707106781186548\\0.707106781186548 & 0.707106781186548\end{array}\right]$$$A