奇異值分解計算器
逐步求解矩陣的 SVD
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求$$$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]$$$的奇異值分解。
解答
求矩陣的轉置：$$$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$（步驟請參見 矩陣轉置計算器）。
將矩陣與其轉置相乘：$$$W = \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$ (步驟請見 矩陣乘法計算器).
現在，求出 $$$W$$$ 的特徵值與特徵向量（步驟請參見 特徵值與特徵向量計算器）。
特徵值：$$$8$$$，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$。
特徵值：$$$2$$$，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$。
特徵值：$$$0$$$，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$。
求非零特徵值（$$$\sigma_{i}$$$）的平方根：
$$$\sigma_{1} = 2 \sqrt{2}$$$
$$$\sigma_{2} = \sqrt{2}$$$
矩陣 $$$\Sigma$$$ 是一個對角線元素為 $$$\sigma_{i}$$$、其餘元素皆為 0 的矩陣：$$$\Sigma = \left[\begin{array}{ccc}2 \sqrt{2} & 0 & 0\\0 & \sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$。
矩陣 $$$U$$$ 的各列是歸一化（單位）向量：$$$U = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$（關於求單位向量的步驟，請參見 unit vector calculator）。
現在，$$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$：
$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{6}}{3}\\\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6}\end{array}\right]$$$（步驟詳見 矩陣標量乘法計算器 和 矩陣乘法計算器）。
$$$v_{2} = \frac{1}{\sigma_{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{3}\\- \frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{\sqrt{3}}{3}\\0\\\frac{\sqrt{6}}{3}\end{array}\right]$$$（步驟詳見 矩陣標量乘法計算器 和 矩陣乘法計算器）。
由於非零 $$$\sigma_{i}$$$ 已用盡且仍需再找一個向量，請透過求以已找到的向量為行所組成之矩陣的零空間，找出與所有已找到向量正交的向量：$$$\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}\\-1\\1\end{array}\right]$$$（步驟請參見 null space calculator）。
將向量單位化：它變為 $$$\left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\- \frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{array}\right]$$$，(步驟請參見 單位向量計算器)。
因此，$$$V = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$。
矩陣 $$$U$$$、$$$\Sigma$$$ 和 $$$V$$$ 使得初始矩陣滿足 $$$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$。
答案
$$$U = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & 0.577350269189626 & -0.707106781186548\\0.816496580927726 & -0.577350269189626 & 0\\0.408248290463863 & 0.577350269189626 & 0.707106781186548\end{array}\right]$$$A
$$$\Sigma = \left[\begin{array}{ccc}2 \sqrt{2} & 0 & 0\\0 & \sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}2.82842712474619 & 0 & 0\\0 & 1.414213562373095 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$A
$$$V = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & -0.577350269189626 & 0.707106781186548\\0.866025403784439 & 0 & -0.5\\0.288675134594813 & 0.816496580927726 & 0.5\end{array}\right]$$$A