$$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\3 & 4\end{array}\right]$$$ 的偽逆

求 $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\3 & 4\end{array}\right]$$$ 的 Moore–Penrose 偽逆矩陣。

矩陣 $$$A$$$ 的偽逆為 $$$A^{+} = A^{T} \left(A A^{T}\right)^{-1}$$$。

求矩陣的轉置：$$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\3 & 4\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{cc}2 & 3\\1 & 4\end{array}\right]$$$（步驟請參見 矩陣轉置計算器）。

將原矩陣與其轉置相乘：

$$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\3 & 4\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}2 & 3\\1 & 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 & 10\\10 & 25\end{array}\right]$$$（步驟請參見 矩陣乘法計算器）。

求逆矩陣：$$$\left[\begin{array}{cc}5 & 10\\10 & 25\end{array}\right]^{-1} = \left[\begin{array}{cc}1 & - \frac{2}{5}\\- \frac{2}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$（步驟請參見逆矩陣計算器）。

最後，將矩陣相乘：

$$$\left[\begin{array}{cc}2 & 3\\1 & 4\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & - \frac{2}{5}\\- \frac{2}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & - \frac{1}{5}\\- \frac{3}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$$$（步驟請參見 矩陣乘法計算器）。

$$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\3 & 4\end{array}\right]^{+} = \left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & - \frac{1}{5}\\- \frac{3}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0.8 & -0.2\\-0.6 & 0.4\end{array}\right]$$$A