$$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$ 的零空間

求$$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$的零空間。

該矩陣的簡化行階梯形為 $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$（步驟請參見 rref calculator）。

要找出零空間，解矩陣方程 $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\\0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]$$$。

若取 $$$x_{2} = t$$$，則 $$$x_{1} = t \left(- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)$$$。

因此，$$$\mathbf{\vec{x}} = \left[\begin{array}{c}t \left(- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)\\t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] t$$$。

這是零空間。

矩陣的零度是其零空間之基底的維數。

因此，該矩陣的零度為 $$$1$$$。

零空間的基底為 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\} = \left\{\left[\begin{array}{c}-0.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]\right\}$$$A。

矩陣的零化度為 $$$1$$$A。