$$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\4 & 1 & 7\end{array}\right]$$$ 的零空間

求$$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\4 & 1 & 7\end{array}\right]$$$的零空間。

該矩陣的簡化行階梯形為 $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & \frac{11}{7}\\0 & 1 & \frac{5}{7}\end{array}\right]$$$（步驟請參見 rref calculator）。

要找出零空間，解矩陣方程 $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & \frac{11}{7}\\0 & 1 & \frac{5}{7}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]$$$。

若取 $$$x_{3} = t$$$，則 $$$x_{1} = - \frac{11 t}{7}$$$, $$$x_{2} = - \frac{5 t}{7}$$$。

因此，$$$\mathbf{\vec{x}} = \left[\begin{array}{c}- \frac{11 t}{7}\\- \frac{5 t}{7}\\t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{11}{7}\\- \frac{5}{7}\\1\end{array}\right] t$$$。

這是零空間。

矩陣的零度是其零空間之基底的維數。

因此，該矩陣的零度為 $$$1$$$。

零空間的基底為 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{11}{7}\\- \frac{5}{7}\\1\end{array}\right]\right\}\approx \left\{\left[\begin{array}{c}-1.571428571428571\\-0.714285714285714\\1\end{array}\right]\right\}$$$A。

矩陣的零化度為 $$$1$$$A。