$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ 的特徵值與特徵向量

求$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$的特徵值與特徵向量。

首先，將給定矩陣的主對角線元素各減去 $$$\lambda$$$，形成一個新矩陣：$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} - \lambda & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \lambda - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$。

所得矩陣的行列式為 $$$\left(\lambda - 1\right)^{2}$$$（步驟請參見 行列式計算器）。

求解方程式 $$$\left(\lambda - 1\right)^{2} = 0$$$。

根為 $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = 1$$$（步驟請參見方程求解器）。

這些是特徵值。

接著，求特徵向量。

$$$\lambda = 1$$$

$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} - \lambda & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \lambda - \frac{1}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{2} & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{3}{2}\end{array}\right]$$$

此矩陣的零空間為 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$（步驟請參見 零空間計算器）。

這是特徵向量。

特徵值：$$$1$$$A，重數：$$$2$$$A，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A。