$$$\left[\begin{array}{cc}5 & 11\\11 & 25\end{array}\right]$$$ 的特徵值與特徵向量

求$$$\left[\begin{array}{cc}5 & 11\\11 & 25\end{array}\right]$$$的特徵值與特徵向量。

首先，將給定矩陣的主對角線元素各減去 $$$\lambda$$$，形成一個新矩陣：$$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right]$$$。

所得矩陣的行列式為 $$$\lambda^{2} - 30 \lambda + 4$$$（步驟請參見 行列式計算器）。

求解方程式 $$$\lambda^{2} - 30 \lambda + 4 = 0$$$。

根為 $$$\lambda_{1} = 15 - \sqrt{221}$$$, $$$\lambda_{2} = \sqrt{221} + 15$$$（步驟請參見方程求解器）。

這些是特徵值。

接著，求特徵向量。

• $$$\lambda = 15 - \sqrt{221}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-10 + \sqrt{221} & 11\\11 & 10 + \sqrt{221}\end{array}\right]$$$

  此矩陣的零空間為 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\right\}$$$（步驟請參見 零空間計算器）。

  這是特徵向量。

• $$$\lambda = \sqrt{221} + 15$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \sqrt{221} - 10 & 11\\11 & 10 - \sqrt{221}\end{array}\right]$$$

  此矩陣的零空間為 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{-10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\right\}$$$（步驟請參見 零空間計算器）。

  這是特徵向量。

特徵值：$$$15 - \sqrt{221}\approx 0.133931252681494$$$A，重數：$$$1$$$A，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}- \frac{10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-2.260551704301682\\1\end{array}\right]$$$A。

特徵值：$$$\sqrt{221} + 15\approx 29.866068747318506$$$A，重數：$$$1$$$A，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}\frac{-10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}0.442369886119864\\1\end{array}\right]$$$A。