$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3}\end{array}\right]$$$ 的特徵值與特徵向量

求$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3}\end{array}\right]$$$的特徵值與特徵向量。

首先，將給定矩陣的主對角線元素各減去 $$$\lambda$$$，形成一個新矩陣：$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{3} - \lambda\end{array}\right]$$$。

所得矩陣的行列式為 $$$\left(\frac{1}{3} - \lambda\right) \left(\frac{2}{3} - \lambda\right)$$$（步驟請參見 行列式計算器）。

求解方程式 $$$\left(\frac{1}{3} - \lambda\right) \left(\frac{2}{3} - \lambda\right) = 0$$$。

根為 $$$\lambda_{1} = \frac{2}{3}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{1}{3}$$$（步驟請參見方程求解器）。

這些是特徵值。

接著，求特徵向量。

• $$$\lambda = \frac{2}{3}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{3} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & - \frac{1}{3}\end{array}\right]$$$

  此矩陣的零空間為 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]\right\}$$$（步驟請參見 零空間計算器）。

  這是特徵向量。

• $$$\lambda = \frac{1}{3}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{3} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$

  此矩陣的零空間為 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]\right\}$$$（步驟請參見 零空間計算器）。

  這是特徵向量。

特徵值：$$$\frac{2}{3}\approx 0.666666666666667$$$A，重數：$$$1$$$A，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$$$A。

特徵值：$$$\frac{1}{3}\approx 0.333333333333333$$$A，重數：$$$1$$$A，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$$$A。