$$$\left[\begin{array}{cc}2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & t^{2}\end{array}\right]$$$ 的特徵值與特徵向量
相關計算器: 特徵多項式計算器
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求$$$\left[\begin{array}{cc}2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & t^{2}\end{array}\right]$$$的特徵值與特徵向量。
解答
首先，將給定矩陣的主對角線元素各減去 $$$\lambda$$$，形成一個新矩陣：$$$\left[\begin{array}{cc}- \lambda + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \lambda + t^{2}\end{array}\right]$$$。
所得矩陣的行列式為 $$$\lambda^{2} - 3 \lambda t^{2} + t^{4}$$$（步驟請參見 行列式計算器）。
求解方程式 $$$\lambda^{2} - 3 \lambda t^{2} + t^{4} = 0$$$。
根為 $$$\lambda_{1} = \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2}$$$（步驟請參見方程求解器）。
這些是特徵值。
接著，求特徵向量。
$$$\lambda = \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2}$$$
$$$\left[\begin{array}{cc}- \lambda + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \lambda + t^{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2} + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2} + t^{2}\end{array}\right]$$$
此矩陣的零空間為 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$（步驟請參見 零空間計算器）。
這是特徵向量。
$$$\lambda = \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2}$$$
$$$\left[\begin{array}{cc}- \lambda + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \lambda + t^{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2} + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2} + t^{2}\end{array}\right]$$$
此矩陣的零空間為 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$（步驟請參見 零空間計算器）。
這是特徵向量。
答案
特徵值：$$$\frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2}\approx 0.381966011250105 t^{2}$$$A，重數：$$$1$$$A，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}0.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A。
特徵值：$$$\frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2}\approx 2.618033988749895 t^{2}$$$A，重數：$$$1$$$A，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-1.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A。