$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$ 的特徵值與特徵向量

求$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$的特徵值與特徵向量。

首先，將給定矩陣的主對角線元素各減去 $$$\lambda$$$，形成一個新矩陣：$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right]$$$。

所得矩陣的行列式為 $$$\frac{\left(\lambda - 1\right) \left(2 \lambda - 1\right)}{2}$$$（步驟請參見 行列式計算器）。

求解方程式 $$$\frac{\left(\lambda - 1\right) \left(2 \lambda - 1\right)}{2} = 0$$$。

根為 $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{1}{2}$$$（步驟請參見方程求解器）。

這些是特徵值。

接著，求特徵向量。

• $$$\lambda = 1$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{1}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & - \frac{3}{10}\end{array}\right]$$$

  此矩陣的零空間為 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$（步驟請參見 零空間計算器）。

  這是特徵向量。

• $$$\lambda = \frac{1}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{10} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

  此矩陣的零空間為 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$（步驟請參見 零空間計算器）。

  這是特徵向量。

特徵值：$$$1$$$A，重數：$$$1$$$A，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1.5\\1\end{array}\right]$$$A。

特徵值：$$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A，重數：$$$1$$$A，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A。