對角化 $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$
您的輸入
將 $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$ 對角化。
解答
首先，求出特徵值與特徵向量（步驟請參見特徵值與特徵向量計算器）。
特徵值：$$$2$$$，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]$$$。
特徵值：$$$0$$$，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$。
構造矩陣 $$$P$$$，其中第 $$$i$$$ 列為第 $$$i$$$ 個特徵向量：$$$P = \left[\begin{array}{cc}1 & -1\\1 & 1\end{array}\right]$$$。
構成對角矩陣 $$$D$$$，其在第 $$$i$$$ 行第 $$$i$$$ 列的元素為第 $$$i$$$ 個特徵值：$$$D = \left[\begin{array}{cc}2 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$
矩陣 $$$P$$$ 和 $$$D$$$ 被選取為使初始矩陣滿足 $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$。
$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\- \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ (步驟請參閱 逆矩陣計算器).
答案
$$$P = \left[\begin{array}{cc}1 & -1\\1 & 1\end{array}\right]$$$A
$$$D = \left[\begin{array}{cc}2 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$A
$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\- \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0.5 & 0.5\\-0.5 & 0.5\end{array}\right]$$$A