矩陣對角化計算器

將 $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$ 對角化。

首先，求出特徵值與特徵向量（步驟請參見特徵值與特徵向量計算器）。

特徵值：$$$6$$$，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$。

特徵值：$$$3$$$，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$。

特徵值：$$$-2$$$，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$。

構造矩陣 $$$P$$$，其中第 $$$i$$$ 列為第 $$$i$$$ 個特徵向量：$$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$。

構成對角矩陣 $$$D$$$，其在第 $$$i$$$ 行第 $$$i$$$ 列的元素為第 $$$i$$$ 個特徵值：$$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$

矩陣 $$$P$$$ 和 $$$D$$$ 被選取為使初始矩陣滿足 $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$。

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ (步驟請參閱 逆矩陣計算器).

$$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$A

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.166666666666667 & 0.333333333333333 & 0.166666666666667\\0.333333333333333 & -0.333333333333333 & 0.333333333333333\\-0.5 & 0 & 0.5\end{array}\right]$$$A