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切平面計算器
逐步求解切平面
該計算器將嘗試在給定點處求出顯式與隱式曲線的切平面，並顯示解題步驟。
您的輸入
計算 $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14$$$ 在 $$$\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)$$$ 的切平面。
解答
此函數可表示為 $$$F{\left(x,y,z \right)} = 0$$$，其中 $$$F{\left(x,y,z \right)} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14$$$。
求偏導數。
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 x$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 y$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 z$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).
在給定點處求各導數的值。
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 x\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 2$$$
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 y\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 6$$$
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 z\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 4$$$
切平面的方程式為 $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(x - x_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(y - y_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(z - z_{0}\right) = 0$$$。
在本例中，$$$2 \left(x - 1\right) + 6 \left(y - 3\right) + 4 \left(z - 2\right) = 0$$$。
這可以改寫為 $$$2 x + 6 y + 4 z = 28$$$。
或者，更簡單地說: $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7$$$.
答案
切平面的方程式為 $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7 = - 0.5 x - 1.5 y + 7$$$A。