拉格朗日乘數法：在約束 $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ 下，求 $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ 的極大值與極小值

在約束 $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ 下，求 $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ 的最大值與最小值。

注意！ 此計算器不會檢查應用拉格朗日乘數法的條件。使用風險自負：答案可能不正確。

將約束條件 $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ 改寫為 $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0$$$。

寫出拉格朗日函數：$$$L{\left(x,y,z,\lambda \right)} = x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)$$$。

求所有一階偏導數：

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 \lambda x + y^{2} z^{3}$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right)$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right)$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

接下來，解聯立方程組 $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ 或 $$$\begin{cases} 2 \lambda x + y^{2} z^{3} = 0 \\ 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right) = 0 \\ z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right) = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0 \end{cases}$$$。

該系統有以下實數解：$$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$。

$$$f{\left(\sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(\sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

由於我們只找到一個值，你還需要檢查它是最大值還是最小值。為此，取另一個滿足約束條件的點，並求函數在該點的值。若新點處的值小於原來點處的值，則原來的點是最大值點；相反，若新點處的值較大，則原來的點是最小值點。

無法找到最大值與最小值。